Главная - Другое - Сочетательный закон умножения деления

Сочетательный закон умножения деления


Сочетательный закон умножения деления

Умножение натуральных чисел: свойства, примеры


Как работает сервис Содержание Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так: От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a a и b — любые натуральные числа. Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз.

Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка. Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.

Приведем формулировку в буквенном виде: a·b·c=a·b·c a, b, c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел. Для наглядности приведем пример.

Сначала вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24 Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=12·2=12+12=24 4·3·2=4·3·2 Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо. Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения.

Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел. Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c. Запишем в форме буквенного выражения: a·b+c=a·b+a·c a, b, c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство.

Вычислим значение выражения 4·3+2. 4·3+2=4·3+4·2=12+8=20 С другой стороны 4·3+2=4·5=20.

Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно. Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения: a·b-c=a·b-a·c a, b, c — любые натуральные числа. В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем: 4·3-2=4·3-4·2=12-8=4 С другой стороны 4·3-2=4·1=4.

Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно. Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число. 1·a=a По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1·a=∑i=1a1 Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a.

Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым: 1·a=a·1=a Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число.

Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком. Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0. 0·a=0. По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз.

По свойствам сложения, такая сумма равна нулю. В результате умножения единицы на нуль получается нуль.

Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль. Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0 Справедливо и обратное.

Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.

Сочетательное свойство умножения — правило и примеры использования

138 Автор статьи Время на чтение: 10 минут 4 декабря 2020 717 Сложение, вычитание, произведение и деление — это фундаментальные операции. На них базируется вся математика.

Существуют определённые методы, позволяющие упростить вычисления и даже выполнять расчёты в уме. Одно из них — использование свойства сочетательного умножения.

Оно довольно простое, но при этом позволяет привести сложную для расчётов запись выражения к удобному виду.

Содержание: В математике любое действие принято называть операцией. Согласно математическому определению под ней понимают представления соответствия одному или нескольких элементам аргумента иного элемента. Все операции разделяют на арифметические и гипероперации. К первым относят сложение и вычитание.
К первым относят сложение и вычитание. Вторые же включают в себя:

  1. корень — функция отличную от степени;
  2. возведение в степень — высший порядок умножения;
  3. деление — обратная произведению операция;
  4. произведение (умножение) — действие высшего порядка сложения;
  5. взятие логарифма — обратная операции возведения.

При умножении участвуют два члена (аргумента).

Один из них называют множителем, а другой сомножителем.

Но вместе с тем в учебниках используют и другие названия — множимое и множитель. Результатом умножения является не что иное, как произведение.

Так как перемножение по своей сути является коммутативной операцией, то есть характеризуется свойством переместительности, порядок записи членов не оказывает влияния на результат. Наряду с таблицей существуют и законы умножения. В 5 классе среднеобразовательной школы учащиеся проходят эти свойства, закладывая фундамент для освоения быстрого счёта.

По своей сути произведение является результатом сложения одного из чисел столько раз, сколько указывает второе.

Например, пусть имеется девять рядов. В каждом из них лежит пятнадцать яблок.

Чтобы вычислить, сколько же всего фруктов необходимо, нужно сложить число пятнадцать само с собой девять раз. В ответе и получится искомое количество. Эта неудобная операция сложения заменяется умножением.

Другими словами, нужно просто число рядов умножить на количество яблок в каждом из них: k = 15 * 9 = 135 штук. При этом, согласно свойству умножения, порядок перемножения не имеет значения, так k = 9 * 15 = 135 штук.

Под умножением двух натуральных чисел понимают действие, результат которого равен сумме одинаковых слагаемых, определяемой первым из умножаемых чисел. При этом второе из этих чисел указывает количество слагаемых.

В этом и заключена суть умножения двух натуральных чисел. Можно сформулировать простое определение действию: под произведением понимают результат, полученный суммированием слагаемого, при этом одно из перемножаемых чисел указывает на количество слагаемых.

Изучение математиками процесса умножения позволило им обнаружить ряд закономерностей, характерных для этого действия. Их назвали свойствами умножения.

Наиболее часто при решении задач, при котором используется нахождение произведения, используют шесть законов умножения:

  • Перемножение единицы и натурального числа. Согласно его формулировке произведение произвольного числа слагаемых, каждое из которых равно единице на натуральное число, будет равняться сумме числа этого слагаемого.
  • Сочетательный. Объясняющий правила перемножения, если в выражении присутствуют скобки.
  • Распределительный сложения. Связывает сложение с умножением. Его формулировка звучит так: сложение произведения первого слагаемого и произведения числа другого слагаемого с данным числом можно заменить произведением первого слагаемого на это число. То есть (a + b) * c = a * c + b * c.
  • Переместительный. Разрешает перестановку множителей.
  • Умножение на ноль. При умножении любого члена на ноль результатом будет ноль.
  • Распределительный вычитания. Аналогичный распределительному сложения, только вместо суммирования выполняется вычитание. То есть (a — b) * c = a * c — b * c.

Сочетательный и переместительный законы были получены путём изучения результатов действия сложения. Они довольно похожи между собой.

При сложении используется два правила: от перемены мест слагаемых результат остаётся неизменным, и при сложении нескольких членов можно сложить только два из них, а после полученную сумму прибавить к оставшимся.

Именно на этих свойствах и построены два закона умножения. Сочетательное свойство сложения и умножения вместе с переместительным законом используют для существенного ускорения расчётов.

Например, пусть необходимо вычислить выражение: 15 * 3 * 4 * 5 + 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6. Пример состоит из двух слагаемых.

Первое, используя сочетательный закон, можно упростить. То есть не выполнять перемножение последовательно, что трудно сделать в уме, а вначале умножить первый и второй член, а затем третий с четвёртым, а уже после полученные произведения перемножить между собой: (15 * 3) * (4 * 5) = 45 * 20 = 900. Второе же слагаемое проще вычислить последовательно.

В итоге получится: 900 + 720 = 1620.

Сочетательный закон, а его часто называют ассоциативным, гласит, что при умножении любого количества множителей результат не поменяется, если группу этих множителей подменить произведением. Математической формулой это утверждение можно записать в виде: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).

Для понимания этого действия нужно представить прямоугольник со сторонами три и пять сантиметров, нарисованный на тетрадном листе в клетку. Фигуру можно разбить на одинаковые единичные (сантиметровые) квадраты, а после подсчитать их количество.

Сделать это можно несколькими способами. Например, зная, что общее количество квадратов будет равняться произведению пяти на три, а каждый квадрат образуется четырьмя клетками, общее число будет равняться n = (5 * 3) *4 = 60 штук.

Другой способ можно построить на том, что в каждом столбце находится три квадрата. Отсюда следует, что столбец содержит 3 * 4 клетки. Общее число клеток будет равняться: 5 * (3 * 4) = 60 штук.

Получается, что два способа равноправны, то есть (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4). Таким образом, если заменить члены буквенным обозначением, то получится сочетательное свойство умножения. Отсюда следует ещё одно правило.

Оно позволяет не только менять местами множители, но и вносить их под знак скобки, тем самым определяя порядок решения. Распределительное свойство удобно применять и относительно сложения и вычитания.

Пусть имеется отрезок разделяющий прямоугольник. Количество единичных квадратов, с одной стороны, будет равняться произведению трёх умноженному на три, а с другой — трёх на два.

В итоге получится: 3 * 3 + 3 * 2 = 15 штук.

Иначе можно утверждать, что в каждой строчке фигуры размещены 3 + 2 квадрата. Исходя из этого, верно будет записать: 3 * (3 + 2) = 15 штук. Равенство 3 * 3 + 3 * 2 = 3 * (3+ 2) и есть распределительное свойство, довольно плотно использующееся с сочетательным законом.

Например, нужно найти результат действия 25 *1349 * 4. Используя переместительное и сочетательное свойство, удобно выполнить перестановку членов, благодаря чему можно найти ответ. Так, удобно объединить члены выражения следующим образом: 25 * 1349 * 4 = 1349* (25 * 4) = 1349 * 100 = 134900.

Аналогичным образом можно поступить и при присутствии в задании знака сложения или вычитания.

Например, 311 * 734 + 329 * 266 = 311 * (734 + 266) = 311 * 1000 = 311 000. Необходимо не только понять сочетательный закон, но и уметь применять его в практических заданиях.

Тем более что решение примеров позволит закрепить теоретический материал и довести действия до автоматизма. Получив опыт группирования членов, можно будет, затрачивая минимальные усилия, перемножить любой сложности выражения. При этом некоторые действия даже выполнить в уме. Существует несколько условий применения сочетательного свойства: в задании не может быть менее трёх числовых значений; выражение должно содержать только все знаки сложения или умножения.

Существует несколько условий применения сочетательного свойства: в задании не может быть менее трёх числовых значений; выражение должно содержать только все знаки сложения или умножения.

Например, для следующих выражений: 6 * 55 — 3, 6 * 34, 4 * 9 *12, 34:5 * 8, 4 *9 *234, закон применим только ко второму и последнему. Вот ряд примеров, предназначенных для самостоятельного решения:

  • Нужно вычислить: 5 * 7132 * 2 = (5 * 2) * 7132 = 10 * 732 = 7320. Выполнив действие сначала над числами пять и два, пример можно легко решить и устно. В то же время, решая задание последовательным методом, довольно легко ошибиться.
  • Определить произведение выражения: 8 * 123 * 532 * 25 * 4 * 125. В уме такой пример решить прямолинейно сложно. Но если внимательно посмотреть, то можно выделить два члена 125 и 8. При умножении они дадут тысячу, это легко проверить подсчётом в столбик. Таким образом, пример изменится до вида: 1000 * 125 * 20 * 25 * 4. Легко умножить и двадцать пять на четыре. Результатом будет сто. В итоге выражение примет вид: 125000 * 2000 = 250000000. То есть ответ возможно найти и устно.

Следует отметить, что для освоения сочетательного свойства обычно хватает самостоятельно решить около двадцати различных примеров. При этом для проверки результата можно использовать обычный калькулятор или даже онлайн-калькуляторы.

Понравилась статья? Поделитесь ей А какая Ваша оценка этой статьи?

Чтобы сюда попасть — пройдите тест За неделю Все время Награждены

Законы умножения

Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями. Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство: a · b = b · a, выражающее переместительный закон умножения: От перестановки сомножителей произведение не меняется.

Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением: 3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24, 3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24. Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство: a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c), выражающее сочетательный закон умножения: Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением. Для любых натуральных чисел верны равенства: m · (a + b + .) = m · a + m · b + .

(a + b + .) · m = a · m + b · m + . , выражающие распределительный закон умножения: Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить. Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке: Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек. В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.

Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных — 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4. Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства: m · (a — b — .) = m · a — m · b — .

(a — b — .) · m = a · m — b · m — . Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2. Переход от умножения: m · (a + b + .) и m · (a — b — .) соответственно к сложению и вычитанию: m · a + m · b + .

и m · a — m · b — . называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания: m · a + m · b + .

и m · a — m · b — . к умножению: m · (a + b + .) и m · (a — b — .) называется вынесением общего множителя за скобки.

Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Умножение, сложение, вычитание и деление — основные операции с целыми числами.

Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.

Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ включает в себя множество натуральных чисел ℕ.

Приведем ниже основные свойства сложения. Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон. От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

a+b=b+a Согласно этому свойству, справедливо равенство: 35+251=251+35 Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.

-528+3700=3700+-528 Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон.

Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим. a+b+c=a+b+c Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.

Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства: 64+81+(-49)=64+81+(-49)=64+81+(-49); (128+(-75))+96=128+((-75)+96).

1. Число нуль — нейтральный по сложению элемент.

Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

a+0=a 2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

a+(-a)=0 Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа. Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы. От перемены мест множителей произведение не меняется.

a·b=b·a Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·3 эквивалентно произведению 3·2.

Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом: a·(b·c)=(a·b)·c a, b, c — произвольные целые числа. Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.

В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств: -12·3·8=-12·3·8; 119·((-251)·36)=(119·(-251))·36. Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.

a·0=0 Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. a·b=0 если a=0 или b=0. Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число.

Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.

a·1=a Произведение целого числа a на сумму двух чисел b и c равно сумме произведений a·b и a·c. a·(b+c)=a·b+a·c Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения. В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.

Вычитание — действие, обратное сложению. Число c является разностью двух чисел a и b тогда, когда сумма b+c равна a.

Можно сказать, что разность чисел a и b — это сумма чисел a и -b. Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.

  • Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0.
  • Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=a-b-c.
  • Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=b. a-b≠b-a.
  • Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·c.
  • Вычитание целого числа из суммы: a+b-c=a-c+b=a+(b-c).

Деление — операция, обратная умножению.

Число c называется частным от деления чисел a и b, когда произведение b·c равно a.

Запишем основные свойства деления целых чисел.

  • Деление нуля на число: 0a=0.
  • Деление на нуль невозможно.
  • Деление произведения на число: a·bc=ac·b, если a делится на c; a·bc=a·bс, если b делится на c; a·bc=a·bс=ac·b, если a и b делятся на c.
  • Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1b.
  • Для деления переместительное свойства не выполняется: ab≠ba.
  • Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bc.
  • Деление на единицу: a1=a.
  • Деление равных чисел: aa=1.

Математика. 5 класс

Математика5 классУрок № 64Законы умножения.

Распределительный законПеречень рассматриваемых вопросов:- умножение дробей;- сочетательный закон;- распределительный закон;- переместительный закон.ТезаурусПроизведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.Обязательная литература:1.
Распределительный законПеречень рассматриваемых вопросов:- умножение дробей;- сочетательный закон;- распределительный закон;- переместительный закон.ТезаурусПроизведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.Обязательная литература:1.

Никольский С. М. . Учебник для общеобразовательных учреждений.

ФГОС. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017, стр.

272.Теоретический материал для самостоятельного изученияМы с вами уже знакомы с переместительным и сочетательным законами сложения. Эти законы применимы и для умножения.Сочетательный закон умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Переместительный закон умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется.

Начнём с переместительного закона. Покажем, что произведение восьми девятых и пяти шестых равняется произведению пяти шестых и восьми девятых.

Мы видим, что произведение и произведение , значит, .

Это доказывает справедливость переместительного закона умножения.

Теперь, перейдём к сочетательному закону уножения.

Докажем, что произведение равно произведению .

Мы видим, что произведение левой части равно дроби , и произведение правой части также равно . Значит, сочетательный закон справедлив и для умножения.

Для умножения справедлив ещё один закон – распределительный: чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Проверим справедливость этого закона на следующем равенстве.

Посчитаем, чему равна левая часть равенства.

Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.

Это доказывает справедливость распределительного закона.Распределительный закон справедлив и для разности:, если

Например, .

А также распределительный закон справедлив и для дробей в скобках с одним знаменателем:

Разбор решения заданий тренировочного модуля№ 1.

Дано выражение: . Каким натуральным числом надо заменить букву a, чтобы значение этого выражения было равно нулю?

Решение: применим распределительный закон:

Очевидно, если выражение в скобках будет равно нулю, то и произведение будет равно нулю, следовательно, a = 9.Ответ: a = 9.№ 2. Верно ли равенство ?

Ответ: да, равенство верно, так как от перемены мест множителей произведение не меняется.

Сочетательное свойство умножения

Сочетательный и переместительный законы умножения о многом похожи на свойства сложения. Возможно поэтому, ученики 5 классов часто путают свойства, из-за чего допускают в теоретических вопросах. Чтобы избежать таких проблем в дальнейшем и окончательно разобраться в вопросе рассмотрим данную тему подробнее.

На самом деле, схожесть свойств сложения и умножения появилась не на пустом месте. Умножение это сокращенный вариант сложения, где первый множитель указывает на число, которое складывалось само с собой. Второй множитель показывает количество слагаемых.

На практике это выглядит так: 3*4=3+3+3+3 – число 3 складывалось с самим собой 4 раза. Вспомнит свойства сложения. Их всего два:

  1. Если складывается несколько чисел, то можно сложить два числа, результат сложить с третьим и так далее – сочетательное свойство.
  2. От перемены мест слагаемых сумма не меняется – переместительное свойство.

В математике два основных раздела: алгебра и геометрия. В алгебре понятия свойства и закона довольно схожи, особенно на школьном уровне математики.

Поэтому свойства сложения иногда зовутся законами. Та же ситуация присутствует и в умножении.

Но принято говорить свойства сложения и законы умножения, хотя назвать законы умножения свойствами можно.

Это не будет являться ошибкой. По аналогии с свойствами сложения выделяют два свойства умножения:

  1. Сочетательный закон: если в произведении больше 2 множителей, то можно перемножить 2 числа, а результат использовать дальше в качестве множителя. Например: 3*4*5=12*5=60
  2. Переместительный закон: от перемены мест множителей произведение не меняется. Действительно, если подумать, то нет никакой разницы, сложить 3 раза число 4 или сложить 4 раза число 3. Результат от этого не поменяется.

К этим двум законам добавляется третий: распределительный. Распределительный закон умножения относительно сложения гласит, что если число умножается на сумму, то можно умножить это число на каждое из слагаемых, а результаты сложить.

Распределительный закон в математике часто используют для раскрытия скобок. необходимо для больших вычислений.

Сочетательный закон сложения можно использовать вместе с переместительным для ускорения расчетов. С умножением все не так просто, зачастую лучше умножать числа в том виде, в каком они записаны.

Исключение из этого правила только одно: если ученик уверен, что какое-то произведение точно даст число 10 или любое из его степеней, то есть числа 100, 1000 и так далее, то нужно в первую очередь перемножить эти числа. Приведем небольшой пример сочетательного свойства умножения. 15*3*4*5+1*2*3*4*5*6 – в первом слагаемом есть возможность немного упростить расчет, во втором такой возможности нет.

Вычислим каждое из слагаемых по очереди, а потом сложим результаты. 15*3*4*5=(15*3)*(4*5)=45*20=900 – за счет правильной группировки множителей получилось немного облегчить расчет. Никаких правил здесь нет, все решает только опыт.

Именно для приобретения навыков правильной группировки чисел и нужно выполнять огромное количество примеров. 1*2*3*4*5*6=2*3*4*5*6=6*4*5*6=24*5*6=120*6=720 Выполним сложение и получим результат: 900+720=1620 Мы поговорили о том, что такое умножение.

Провели аналогии со сложением и выделили три свойства умножения. Отдельно поговорили о сочетательном законе умножения, а также привели пример его использования.

  • а*в*с=(а*в)*с
  • Вопрос 1 из 10
    • а+в=с
    • а*в*с=(а*в)*с
    • а+в-с=с
    • ав=р
  • а+в=с
  • ав=р
  • а+в-с=с

(новая вкладка) А какая ваша оценка?

Новые тестыБудь в числе первых на доске почета

  1. Математика
  2. Все
  3. История России
  4. Окружающий мир
  5. Химия
  6. Литература
  7. Информатика
  8. Биология
  9. Физика
  10. Русский язык
  11. История
  12. Алгебра
  13. География
  14. Английский язык
  15. Чтение
  16. Обществознание
  17. Геометрия

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать.

Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям. У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать.

Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы.

Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть. В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики.

Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики. Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку: 5 + 2 = 7 2 + 5 = 7 Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс.

Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом, между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства.

Это будет означать, что их сумма равна: 5 + 2 = 2 + 5 7 = 7 Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался , поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных: a + b = b + a Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно.

Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно.

Число 2 подставится вместо а, число 3 место b Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых: 2 + 3 + 5 Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь: 2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 10 = 10 Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных: (a + b) + c = a + (b + c) Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

5 × 2 = 10 2 × 5 = 10 В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению: 5 × 2 = 2 × 5 10 = 10 Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных: a × b = b × a Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y.

Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом: x × y = y × x Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий. Рассмотрим следующее выражение: 2 × 3 × 4 Данное выражение можно вычислять в любом порядке.

Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4: Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2 Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению: Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных: a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с) Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4 Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий: Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение: (3 + 5) × 2 Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках.

Выполняем: (3 + 5) = 8 В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку: 8 × 2 = 16 Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения.

Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты: Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно.

В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать.

Выглядит она следующим образом: (3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16 Или ещё короче: (3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16 Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных: (a + b) × c = a × c + b × c Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения × Из мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b).

Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках: c × (a + b) = c × a + c × b Пример 2.

Найти значение выражения 5 × (3 + 2) Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим: 5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25 Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2) Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим: 6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42 Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках.

Затем из полученного первого числа вычесть второе число.

В принципе, ничего нового. Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2) Умножим 5 на каждое число в скобках.

Затем из полученного первого числа вычтем второе число: 5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20 Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2) Умножим 7 на каждое число в скобках.

Затем из полученного первого числа вычтем второе число: 7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7 Задание 1.

Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения: 3 × (7 + 8) Решение: 3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 ×­ 8 = 21 + 24 = 45 Задание 2.

Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения: 5 × (6 + 8) Решение: 5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70 Задание 3.

Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий: 4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) Решение: Задание 4.

Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения: 4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) Решение: 4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81 Задание 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения: 16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) Решение: 16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169 Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках Возникло желание поддержать проект?

Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

Математика. 6 класс

Математика6 классУрок № 43Законы сложения и умноженияПеречень рассматриваемых вопросов:

  1. законы сложения рациональных чисел;
  2. законы умножения рациональных чисел.

ТезаурусНатуральные числа – числа, которые используют при подсчёте предметов.Целые числа – натуральные числа, ноль и числа противоположные натуральным.Рациональные числа – целые числа, положительные и отрицательные дроби.Обязательная литература:

  • Никольский С.

    М. . Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.

    Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

  • Чулков П.

    В. Математика: тематические тесты.5-6 кл.

    // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.

    Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

  • Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл.

    // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр.

    95.

Теоретический материал для самостоятельного изученияМы уже изучали законы сложения и умножения целых чисел. Они будут справедливы и для рациональных чисел. На этом уроке мы рассмотрим законы сложения и умножения рациональных чисел.Каждый закон имеет своё название, свою математическую запись, свою формулировку.Переместительный закон сложенияОт перестановки мест слагаемых сумма не меняется.Сочетательный закон сложенияЧтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.Распределительный законЧтобы число умножить на сумму двух других чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и результат сложить.

Переместительный закон умноженияОт перестановки множителей произведение не меняется.Сочетательный закон умноженияЧтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Докажем сочетательный закон сложения.ДоказательствоИз законов арифметических действий следует, что все правила вычислений, сформулированные нами для целых чисел, будут выполняться и для рациональных чисел (правила раскрытия скобок и заключения в скобки, правила определения знака произведения и частного и т.

п.).Применение законов сложения и умножения позволяет упрощать выражения.Вычислим значение выраженияВычислим значение выражения Найдём значение выражения, записанного с помощью букв, выполнив числовые подстановки.

Подставим в выражение вместо букв a и c их числовые значения, получим:Дополнительный материалПроведём несложные исследования, связанные со свойствами произведения нескольких рациональных чисел.Выясним, какое произведение больше. РешениеРазбор заданий тренировочного модуля№ 1.

Разместите нужные подписи под изображениями.Сравните с нулём произведения?Варианты ответов: «больше нуля»«равно нулю»«меньше нуля»Для ответа на вопрос задания посчитаем количество отрицательных множителей, также вспомним свойство нуля при умножении.Правильный ответ№ 2.

Вставьте в текст нужные слова.Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к … числу … сумму … и третьего чисел.Варианты слов для вставки: второгопервомуприбавитьвычестьумножитьтретьегоДля ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу урока.Правильный ответЧтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Законы арифметических действий

Нам известны следующие законы сложения и умножения:1.

от перемены мест слагаемых сумма не меняется:5 + 4 = 4 + 5 = 9. Это переместительный закон сложения.2. Значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые, т.

е. чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое:6 + (4 + 5) = (6 + 4) + 5 = 15.Это сочетательный закон сложения.3. От перемены мест множителей произведение не меняется:7 ⋅ 4 = 4 ⋅ 7 = 28.Это переместительный закон умножения.4.

Значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители, т. е., чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.(3 ⋅ 4) ⋅ 5 = 3 ⋅ (4 ⋅ 5) = 60.Это сочетательный закон умножения.5. Чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения:(20 + 6) ⋅ 2 = 20 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = 40 + 12 = 52.Это распределительный закон умножения относительно сложения.

Применяя законы сложения и умножения, можно упростить вычисления: 48 + 79 + 52 = (48 + 52) + 79 = 100 + 79 = 179, 4 ⋅ 76 ⋅ 25 = 76 ⋅ (4 ⋅ 25) = 76 ⋅ 100 = 7600.В этих примерах использовался сочетательный закон сложения и умножения.Пример #1. Вычисли, меняя множители местами и объединяя их в группы:2 ⋅ 9 ⋅ 5 = Выполни умножение 44 ⋅ 2 постепенно.Вычисли устно: 67 + 21 + 33.Данное равенство: 9 ⋅ 5 = 48 — верно или ошибочно?Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним, определяя значение выражения ((27 − 0) ⋅ 14 + 79) : 2?Сумма чисел 3338 + 2744 ближе всего к числу:В автобусе 25 мест(-а). Какое наименьшее число автобусов необходимо, чтобы 182 чел.

увезти в аэропорт?В конце рабочего дня 7 гномов (A, B, C, D, E, F и G) в алфавитном порядке собрались у лифта, чтобы подняться на поверхность земли.К сожалению, одновременно все гномы не могут подняться на лифте, т.

к. за раз лифт может поднять груз не больше, чем 475 кг.

Некоторые гномы не знают свой вес, однако известен общий вес некоторых гномов. A + G = 356 кг, B + F = 408 кг, C + D + E = 464 кг.

Основные свойства сложения и умножения

Основные законы сложения 1. Переместительный закон Сумма не меняется от перестановки её слагаемых: a + b = b + a.

2. Сочетательный закон Сумма не зависит от группировки её слагаемых: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c 3.

Свойство нуля Сумма нуля и любого числа равна этому числу: 0 + a = a 4. Свойство противоположных чисел Сумма противоположных чисел равна нулю: a + (-a)=0 Основные законы умножения 1.

Переместительный закон Произведение не меняется от перестановки его сомножителей: ab = ba.

2. Сочетательный закон Произведение не зависит от группировки его сомножителей: (ab)c = a(bc) = abc 3. Распределительный закон Произведение числа и суммы равно сумме произведений числа на слагаемые суммы: $$a(b +c )= ab + ac$$ 4. Свойство единицы Произведение единицы и любого числа равно этому числу: $1 \cdot a = a$ 5.

Свойство нуля Произведение нуля и любого числа равно нулю: $0 \cdot a = 0$ 6. Свойство обратных чисел Произведение обратных чисел равно единице: $a \cdot a \frac 1a = 1 (a \neq 0)$ Применение переместительных и сочетательных законов сложения и умножения к числовым выражениям значительно облегчает вычисления. Пример 1. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений $(3\frac {17}{25} + 4\frac {7}{9}) + (2\frac {8}{25} — 1\frac {4}{9}) + \frac 23 \cdot 0,2 \cdot 0,8 \cdot 5 \cdot 1,25 =$ $= (3\frac {17}{25} + 2\frac {8}{25}) + (4\frac {7}{9} — 1\frac {4}{9}) + \frac 23 \cdot (0,2 \cdot 0,5) \cdot (0,8 \cdot 1,25) =$ $= (3 + 2 \frac {17 + 8}{25} + 4 — 1) + \frac {7-4}{9} + \frac 23 \cdot 1 \cdot 1 = 9 + (\frac 13 + \frac 23) = 10$ Ответ: 10 Пример 2.

Вычислите удобным способом: $(74,7 \cdot \frac {2}{21} + (-105,3) \cdot 2 \frac 37 — (-105,3) \cdot \frac {2}{21} — 2 \frac {3}{7} \cdot 74,7) : 10 =$ $( \frac {2}{21} (74,7 + 105,3) — 2 \frac 37 (105,3 + 74,7)) : 10 = ( \frac {2}{21} — 2 \frac 37 ) \cdot (74 + 105 + 1) : 10 = $ $( \frac {2}{21} — \frac {9}{21} — 2) \cdot (180 : 10) = \frac {-7 — 42}{21} \cdot 18 = \frac {-49}{7} \cdot 6 = -7 \cdot 6 = 42$ Ответ: 42 Применение законов сложения и умножения к выражениям с переменными также даёт возможность их упростить, прежде всего, с помощью приведения подобных слагаемых. Подобные слагаемые – это слагаемые в выражении с переменными, имеющие одинаковую буквенную часть (любое буквенное выражение); числа без буквенной части также считаются подобными слагаемыми.

Заметим, что в выражении 3ab+2ba слагаемые подобны, т.к. 2ba=2ab по переместительному закону умножения.

Поэтому 3ab+2ba=3ab+2ab=(3+2)ab=5ab. Получаем следующий алгоритм. Алгоритм приведения подобных слагаемых 1. Провести перестановку слагаемых так, чтобы подобные слагаемые оказались рядом, сгруппировать их с помощью скобок.

2. Вынести за скобки буквенную часть подобных слагаемых. 3. Вычислить значение числового выражения в скобках.

Это – новый числовой коэффициент. 4. Заменить подобные слагаемые в выражении полученным результатом.


prinyatie-nasledstva.ru © 2021
Наверх